写在前面：DeFi 赛道的竞争已开始升温，尽管像 Maker、Compound 这样的老牌 DeFi 项目依旧占据了优势，但越来越多的挑战者正在涌现，而 Balancer 正是其中一个潜力股，你可以将自己的稳定币放入该协议池中，从而获得相比使用 Compound 更高的收益，原因在于，你不仅能从贷款利息中获得收益，还能因为提供流动性而获得交易费收益，此外，它还能避免无常损失。

那它又是如何实现的呢？我们不妨通过 Balancer 的白皮书来具体了解它的设计。

目录

1、介绍

2、理论

2、1 值函数

2、2 即期价格

2、3 有效价格

2、4 即期价格证明

2、5 恒定值分布证明

2、6 交易公式

2、6、1 Out-Given-In

2、6、2 In-Given-Out

2、6、3 In-Given-Price

2、7 流动性提供公式

2、7、1 所有资产的存取款

2、7、2 单资产存/取款

3、实例

3、1 License

3、2 发布

3、3 数值算法

3、4 受控池与最终池

3、5 Swap 和退出费用

4、参考文献

一、介绍

指数基金是一种常见的金融工具，历史上第一只指数基金诞生于 1972 年。从那时以来，投资者们在很大程度上依赖于不同的投资组合策略来对冲风险。

指数基金保证投资者在一个投资组合中有一个稳定的、可控的风险敞口。如果其中一项资产表现不佳或表现出众，则可以选择出售或购买策略，以保持其在总投资组合中的价值份额不变。

无论是在传统金融体系还是在区块链环境下，指数基金和其他类型的投资组合，都会向投资者收取管理费用，这些费用主要是用于覆盖再平衡投资组合的成本。然而，投资组合管理和指数基金投资通常是采用的中心化解决方案，因此这类项目都具有某种形式的托管风险。

而 Balancer 协议是一个具有某些关键属性的自动做市商（AMM），这些属性使其可作为一种自平衡加权投资组合和价格传感器。

Balancer 颠覆了指数基金的概念：你无需向投资经理支付费用来再平衡你的投资组合，而是向交易员收取费用，交易员通过跟踪套利机会来再平衡你的投资组合。

Balancer 基于一个特定的 N 维曲面，该曲面定义了 Balancer 资产池中任何一对代币的成本函数。这种方法首先由 Vitalik Buterin 提出 [1]，并由 Alan Lu 概括 [2]，然后被流行的 Uniswap 应用 [3] 证明是可行的。

我们应用 Zargham 等人 [4] 描述的基于不变量的建模方法来构造该解决方案，并将证明这些恒值做市商拥有这一特性。

二、理论

在这篇文章中，我们使用术语「代币」（token）来指代通用资产，因为我们的第一版实现是在以太坊网络上进行 ERC20 代币操作的合约系统。然而，以太坊的执行环境并没有使该做市算法成为可能的基础。

2、1 值函数（Value Function）

Balancer 交易函数的基础，是通过将值函数 V（池权重和余额的函数）约束为一个恒定值而定义的一个曲面。我们将证明，该曲面意味着每个点的现货价格，这样，无论进行什么交易，资产池中每个代币的价值份额都保持不变。

这个值函数 V 定义为：

其中，t 代表资产池中的代币范围；Bt 是池中代币的余额；Wt 是代币的归一化权重，因此所有归一化权重之和为 1；通过使 V 恒定，我们可以定义一个不变值曲面，如下图所示。

2、2 即期价格（Spot Price）

资产池中的每对代币都有一个即期价格，该价格完全由该对代币的权重和余额定义。任何两个代币之间的即期价格是代币余额按其权重归一化的比率：

其中：

Bi 是代币 i 的余额，进入池中的交易者会出售该代币；

Bo 是代币 o 的余额，交易者会从池中购买该代币；

Wi 是代币 i 的权重；

Wo 是代币 o 的权重；

从这个定义可以很容易地看出，如果权重保持不变，那么 Balancer 资产池提供的即期价格只会随代币余额的变化而变化。如果池的所有者不向池添加代币或从池中删除代币，则代币余额只能通过交易进行更改。恒定曲面会导致交易者购买的代币（token o）价格上升，交易者出售的代币（token I）价格下降。我们可以证明，每当外部市场价格与 Balancer 池提供的价格不同时，套利者将通过与该资产池交易获得最大利润，直到其价格等于外部市场的价格。当这种情况发生时，就没有更多的套利机会了。这些套利机会保证，在一个理性的市场中，任何 Balancer 池提供的价格与市场其他部分能够同步移动。

2、3 有效价格

重要的是要记住，即期价格是最小交易的理论价格，它不会产生任何滑动。实际上，任何交易的有效价格都取决于交易量，而交易量总是会导致价格变化。如果我们将 Ao 定义为交易者购买的代币 o 的数量，Ai 是交易者卖出的代币数量，那我们可以将有效价格定义为：

如上所述，当交易金额趋于 0 时，EP 趋向于 SP：

2、4 即期价格证明

现在让我们证明，V 的选择需要公式 2。

首先，我们知道交易者在购买的东西 Ao，是从合约余额中减去的，因此，Ao = −ΔBo。同样，交易者卖的东西 Ai，是合约余额的一部分，因此，Ai = ΔBi。

代入等式 2 和等式 3，我们得到：

根据定义，该限制是减去 Bi 在 Bo 函数中的偏导数：

根据等式 1 中的值函数定义，我们可以分离出 Bi：

现在，我们使用等式 7 来展开等式 6 中的偏导数：

这得出了我们要的证明。

2、5 恒定值分布证明

我们现在将证明：Balancer 资产池中的所有代币保持恒定的值份额；并且这些值份额等于和每个代币关联的权重；让我们计算，根据池中的任意代币 t 得出的总池值。既然我们已经知道该池中有 Bt 个代币 t，那我们计算一下所有其他剩余代币都值多少个代币 t。使用相对于代币 t 的有效价格没有意义，因为我们不会进行任何实际交易。相反，为了计算理论值，我们使用相对于代币 t 的即期价格。

从等式 2 我们可以计算 ，每个代币 n 的余额值多少代币 t：

我们知道，以代币 t 表示的总池值，是以代币 t 表示的每个代币的值之和：

现在要计算 Sn（每个代币 n 在池中所代表值的份额），我们要做的就是将每个代币 n 的值除以池的总值：

这不仅证明了每个代币所代表的总池值份额是恒定的，而且还等于该代币的权重。

2、6 交易公式

如果我们认为值函数必须保持不变（即 V 在任何交易前和交易后必须具有相同的值），那么为任何给定的 Balancer 池计算交易结果将很容易。

但实际上，由于交易状态转换后有了交易费用，这导致 V 会增加。有关费用的更多详细信息，请参见实例：互换（Swap）和退出（Exit）费用章节内容。

2、6、1 Out-Given-In

当用户发送代币 i 以获得代币 o 时，所有其他代币余额保持不变。因此，如果我们将 Ai 和 Ao 定义为代币 i 和代币 o 的交换数量，则可以计算用户在发送 Ai 时获得的 Ao 数量。已知交易后的值函数应与交易前的相同，我们可以这样写：

2、6、2 In-Given-Out

对于交易者来说，知道他们需要发送多少输入代币 Ai 才能获得期望的输出代币 Ao，也是非常有用的。类似的，我们可以根据 Ao 的函数计算 Ai，如下所示：

注意，公式 11 所定义的 Ao 在 Ai<

2、6、3 In-Given-Price

出于实际目的，打算使用我们的合约进行套利的交易者，希望知道代币 i – Ai 的数量，他们必须将这些数据发送到合约中，以将当前即期价格更改为另一个所需的数值。

期望的即期价格通常是外部市场价格，只要合约即期价格与外部市场价格不同，任何套利者都可以通过与合约交易，并使合约价格接近外部市场价格来获利。

套利者可能获得的最高利润，是当他们将合约即期价格精确调整到外部市场价格时。如前所述，这是我们的设计成功跟踪市场价格的主要原因。当在区块链上实施它时，这使其成为可靠的链上价格传感器。

可以证明用户需要与代币 o 进行交易的代币 i–Ai 的数量，以便资产池的即期价格从变为：

2、7 流动性提供公式资产池代币

资产池可以聚合多个不同用户提供的流动资金。为了使它们能够自由地从资产池中存取资产，Balancer 协议引入了资产池代币的概念。资产池代币表示池中包含的资产的所有权。资产池代币的未偿供应量与池的值函数成正比。如果资产存款增加了 10% 的池值，则资产池代币的未偿供应也增加了 10%。这是因为存款人（depositor）获得了 10% 的新资产池代币作为存款回报。

有两种方式可以将资产存入池中，以换取资产池代币或赎回池代币：加权资产存/取款；单资产存/取款。

2、7、1 所有资产的存取款

「所有资产」存款必须遵循资产池中现有资产的分配。如果存款包含资产池中已存在的每种资产的 10％，则值函数将增加 10％，而存储人（depositor）将获得当前未偿还资产池代币供应量的 10％。因此，要在现有 P supply 总供应量的情况下接收 P issued 资产池代币，需要为池中的每种代币存储 Dk 个代币 k：

其中 Bk 是代币 k 在存款前的代币余额。

类似地，加权资产取款是一种反向操作，即池内代币持有人赎回其资产池代币，以换取池内每项资产的比例份额。在给定 P supply 的现有总供应量的情况下，通过赎回 P redeemed 资产池代币，可以从池中为每个池代币提取 Ak 数量的代币 k：

其中 Bk 是代币 k 在取款前的代币余额。

2、7、2 单资产存/取款

当用户发现池中的资产分配很有趣，因而希望向池中提供流动性时，他们可能没有按照加权资产存款要求的正确比例拥有所有资产。

Balancer 允许任何人通过将单个资产存放到共享池中来获取资产池代币，前提是该池中包含这一资产。

将单个资产 A 存入一个共享池，相当于按比例存入所有的池资产，然后出售更多资产 A 以收回存入的所有其他代币。这样一来，存款人（depositor）最终只会花费资产 A，因为其他代币的存款金额将通过交易返还。

用于将单个资产存放到共享池的资产池代币数量，可以从上面描述的值函数中导出。

单资产存款

资产池代币供应量的增加与值函数的增加成正比。如果我们将 P issued 定义为存款回报而发行的资产池代币的数量，那么：

其中 V′是存款后的值函数，V 是存款前的值函数。同时考虑到存款后资产 k 的余额，Bk 是存款前资产 k 的余额，我们有：

假设单资产存款是在资产 t 中完成的，那么所有其他代币的余额在存款之后都不会发生变化。然后我们可以写：

如果我们将 At 定义为存放在资产 t 中的金额，那么资产 t 的新池余额为B』t = B_t + A_t。然后，我们可以代入并获得新池代币P{issued}inreturnforasinge−assetdepositI_t发行数量的最终公式

单资产取款

当资产池代币的持有者希望赎回其资产池代币 P redeemed 以换取单个资产 t 时, 在资产 t, At 中取款的数量是：

其中 Bt 是取款前资产 t 的池余额。

事实是，使用上述定义的存款和取款公式，在不考虑任何费用的情况下，如果有人为 P issued 资产池代币存入 At 数量的资产 t，然后将相同数量的资产池代币兑换成资产 t，则他们将获得相同的初始 At 数量。

单资产存/取款交易费

在单资产 t 的情况下，向共享池存款或从中取款，相当于对池中所有其他资产的存款额交易 (1−Wt)。存入金额的 Wt 以资产 t 的形式由资产池持有，因此对其收取交易费用是不公平的。

实际上，如果我们忽略任何可能的资产池退出费，仅存入资产 i，并立即提出资产 o，由此产生的交易费用，与使用池提供的交易函数，从 i 到 o 进行的交易相同。

三、实例

关于 Balancer 的第一个版本实现，会有一些初始说明，我们将在发布源代码的同时发布一个更详细的系统说明。

3、1 以太坊平台上的免费软件 Balancer 是以 GPL3 许可的以太坊智能合约系统实现的。

3、2 发布 Balancer 协议会有 3 阶段发布计划，其中第一个称为青铜版本。青铜版本强调审计和代码清晰性，但没有对 gas 成本进行好的优化；

白银版本将带来很多 gas 优化和架构改进工作，这些更改将减少交易开销，并为受控池提供更大的灵活性。

而第三阶段的黄金版本将引入几个新的功能，旨在将整个系统连接在一起。

3、3 数值算法「理论」部分中的公式足以描述系统的功能规格，但对于 EVM 虚拟机而言，它们并不容易实现，部分原因是缺少成熟的定点数学库。

我们的实现结合了一些代数变换、近似函数和数值技巧的组合，来计算这些具有有界最大误差和合理 gas 成本的公式。

本节的其余部分内容将与青铜版本源代码同时发布。

3、4 受控池与最终池「青铜版本」的发行，允许资产池的两种基本信任层：可通过「控制者」地址配置的受控池（Controlled pool）。只有「控制者」地址才能向池中添加或移除流动性（调用 join 或 exit）。这种类型的资产池允许更改池资产类型及其权重。注意，由于控制者是一个地址，它在原则上可以实现任意逻辑，比如以类似于最终池的方式管理公共存款。关键的区别在于，官方工具不会将其视为一个「无需信任」的资产池。随着「白银版本」的发布，具有更高信任要求的受控池将成为可能。最终池（Finalized pool）具有固定池资产类型、权重和费用。至关重要的是，这使得 join 和 exit 能够以安全、无需信任的方式公开访问，同时保持最小的实现。

3、5 Swap 和 exit 费用「青铜版本」会在两种情况下收费：（1）当交易者（通过 swap 及其变体）交换代币，以及（2）当流动性提供者（通过 exit 及其变体）从池中移除其流动性时。

这两种费用都可以由控制者配置，但当池最终确定时，它们也是固定的。

100% 的 swap 费用会分配给流动性提供者，即每个资产池代币可赎回的基础代币数量会增加。

大部分的 exit 费会退还给留在资金池中的流动性提供者。

其余的 exit 退出费将转移到 Balancer Labs 公司控制的帐户中，用于开发未来的版本。

1.Vitalik Buterin: Let』s run on-chain decentralized exchanges the way we run prediction markets

2.Alan Wu: Building a Decentralized Exchange in Ethereum

3. https://uniswap.io/

4. Zargham, M., Zhang, Z., Preciado, V.: A State-Space Modeling Framework for Engineering Blockchain-Enabled Economic Systems. New England Complex Systems Institute (2018)