第二章：算术运算和存储器

前言

二进制速算

这一关和其他关卡不太一样，它更像是一个小游戏。你需要在玩这个小游戏的过程中，理解二进制的几个特点。这个小游戏并不难，你可以先自己玩，再听我来解析。具体玩法就是用下面的数字拼出来他给的数字。

二进制

位权

位权＝基数位数-1

位权＝2位数-1

假设我们现在有一个8位的二进制数10101010，那么根据公式计算，可得它每一位的位权分别是：128、64、32、16、8、4、2、1。你有没有发现，这和本关下方的按钮是一样的？

• 二进制100转化为十进制是多少？是4
• 二进制10000转化为十进制是多少？是16
• 二进制10100转化为十进制是多少？是4+16＝20

• 二进制10转化为十进制是多少？是2
• 二进制111000转化为十进制是多少？是32+16+8＝56
• 二进制10010101转化为十进制是多少？是128+16+4+1=149
• 二进制11111111转化为十进制是多少？是128+64+32+16+8+4+2+1=255

成对的麻烦

我们输入已经拓展到了4个。现在来观察真值表，找到规律。

• (1,2), (1,3), (1,4),
• (2,3), (2,4),
• (3,4)

共6种组合方式，因此我们需要用到6个与门：

将它门按照我们策划过的排列组合进行连接：

然后将这些结果使用或门连接，我们可以使用2个三路或门+1个或门：

奇数个信号

首先我们要先看到问题的本质，假设我们现在只有两个输入端口，那么我们如果想判断是否是奇数个为绿，其实我们判断的就是这两个输入是不是一个绿一个红。那么什么逻辑门是能解决这个问题的呢？是异或门。

这种情况下，“判断输入是否不同”==“判断绿色是不是奇数个”。当我们的输入数拓展到4个，其实问题也是如此。我们只需要先判断两个，然后判断后两个，再把这两个判断结果放在一起判断即可。

循环依赖

循环依赖

循环依赖是指一个或多个对象之间存在直接或间接的依赖关系，这种依赖关系构成一个环形调用，有下面 3 种方式。

关卡解析

我们构建一个受自身影响的电路即可。也就是说，一个元件的输出连接到自身的输入上，例如：

其实此结构也可以满足测试2的要求：

信号计数

请务必先理解本关的目标：

• 第一个被点亮了结果就+1
• 第二个被点亮了结果就+2
• 第三个被点亮了结果就+4

• 输入端亮了1个→让输出端的第一个亮
• 输入端亮了2个→让输出端的第二个亮
• 输入端亮了4个→让输出端的第三个亮

• 这种情况下，“判断输入是否不同”==“判断绿色是不是奇数个”

我们可以直接沿用“奇数个信号”的电路：

现在我们来回忆一下：如果想判断是不是有两个是绿，只需要成对进行与门判断，然后再用或门连接即可。我们将这个电路做出来：

然后，我们将刚才做的两个电路，结合一下。注意，该插在哪个孔的还要插在哪个孔。

现在，我们只差4的电路，我们只要检测四个输入端口是否全是绿色即可，这很简单。先两两判断，然后再总的判断：

接下来，我们将3个电路合在一起。注意，该插在哪个孔的还要插在哪个孔。

运行后发现，还是不能准确的判断4的结果，显示为6。分析，错误源于“当同时出现4个绿色时，必然同时出现2个绿色”，因此，4+2＝6。我们需要想办法做到“当同时出现4个绿色时，使2的电路失效”。我们只需要在2路和3路上加一个异或门，也就是“在2路和3路中，只有1个输出绿色时，才能在2路输出绿色”，可以理解为“只有在3路关闭时，2路才能启用”。这就是本关的完整电路：

题外话

半加器

布尔值

• 布尔值是“真（True）”或“假（False）”中的一个。

• 真 == True == 1 == 绿
• 假 == False == 0 == 红

当我们在说“1”和“绿”时，其实我们说的是同一个东西。

总和、进位

• 总和（SUM）
• 进位（CAR）

我们有两个输入端，两个输出端，但本关比较简单。先观察：

• A：若都是0，输出0
• B：若有且只有1个1，在总和输出1
• C：若有2个1，在进位输出1

首先我们发现，如果只看A和B，可以总结为“如果输入不同，就在总和输出1”，这显然是异或门的性质，因此我们先这样接入一个异或门：

接下来，然后来看C，我们只需要在两个输入同时为1时，输出到进位即可：

半加器

延迟线

这关获得了延迟线，可以把数据延迟一刻再输出到下一段电路。目标是延迟两刻，其实只要在一条线里加两个延迟线即可：

本关最终答案

加倍

字节

8位分线器、8位集线器

• 8位分线器：将1个8位数据拆解为8个1位数据
• 8位集线器：将8个1位数据集合为1个8位数据

举个例子：

关卡解析

本关我们要制作一个将数字翻倍的电路。其实非常简单，只要把每个1位数据都×2即可。本来应该接2的咱们接4，本来应该接4的咱们接8，每个都翻倍，数据就翻倍了。

全加器

本关几乎和“信号计数”那关的1、2、3完全一样，只是把红、绿换成了0、1。

• 没有1 不输出1
• 1个1 在总和输出1
• 2个1 在进位输出1
• 3个1 在总和和进位都输出1

• 某些情况下，“判断输入是否不同”==“判断1是不是奇数个”

2号要求处理完毕，现在我们处理3号要求。根据我们在“信号计数”那关的经验，当我们做好3号要求时，4号要求应该会自动做好，因为4号要求其实是2号要求和3号要求的叠加。

如何判断是否有2个1，我们也学过。两两进行与门判断，然后再用或门连接：

奇变偶不变

循环依赖白名单

我们之前学习过，在本游戏中，循环依赖是不被允许的。但是延迟线的加入可以解决这个问题。

游戏中的方形引脚，不会造成循环依赖，因为它不会影响同一刻的输出值。

关卡解析

本关要求我们制作一个“再偶数刻输出0，在奇数刻输出1”的电路。

观察真值表发现，本关的输入全是0，因此最终结果与输入毫无关系，所以实际上我们可以直接将输入端抛弃，这是一个障眼法。我们可以这样制作：

• 第0刻：黄色线灭，绿色线亮。延迟线存储了信号，将在下一刻放出
• 第1刻：延迟线存储的信号被放出，黄色线亮，绿色线因为非门灭掉
• 第2刻：同第1刻...

1位开关

开关（S）

关卡解析

本关我们要制作一个异或门（XOR），也就是当两边不一样就输出1。但是我们的材料有限，只能用2个非门和2个开关。我们将1加上非门作为开关，2作为通向输出的线路：

• 当1开启时，输出一定为0
• 当1关闭时，输出2直接影响输出结果

• 当2开启时，输出一定为0
• 当2关闭时，输出1直接影响输出结果

这样才是一个完整的异或门。我们需要将这个电路翻倍，也就是将1加上非门作为开关，2作为通向输出的线路：

然后将两个电路拼在一起，注意不要插错孔：

短路处理

我们仔细看一下这个电路的最右侧。在我们之前的关卡中，如果这样连接会显示短路，但是本关并不会。请仔细阅读本关关卡说明第一页，弄清楚这是为什么！

1位取反器

观察

关卡解析

让我们来看一眼真值表：

怎么这么眼熟？这不就是异或门吗？！恭喜过关。

1位取反器

异或门其实也可以被当作一个取反器，你可以把它理解成是一个可以开启或关闭的非门。你可以把一端作为要输出的数据，那么另一端就可以用于去决定是否要取反。

8位或

按位或运算

关卡解析

以上是用1举个例子，接下来把剩下的14个都像这样操作：

8位非

本关异常简单，解题方法就写在下面。

8位非

性质：运算前+运算后=255 ，举个例子：

8位加法器

我们先将输入的2个8位数据拆分为16个1位数据，然后将他们放入全加器进行相加操作，再输出至集线器：

这样我们就解决了第0位，现在我们要解决第1位。根据我们之前讲过的二进制原理，分线器上2个写着“2”的输入端，实际上是写着“1”的位的进位。那么下面这三张图是，画红圈的三个点，实际上应该是在同一位上的：

• 请确保你理解了。

所以说，我们只要把这三个同位的点加起来，再输出到集线器的“2”即可：

接下来，三个画黄圈的点，就又是在一位上的了。我们就一直这样制作下去，一直做到不能再做，我们一共需要8个全加器：

最后一个全加器右下角的点又是一个进位，是第九位，超出了8位数据，我们只要把它连到CAR上就好：

8位加法器

负数

关卡解析

在已经学习过二进制的前提下，本关不需要在过多做解释，注意关卡结束时的要点总结即可：

补码

相反数

数据选择器

• 选通器为红，将A路输出
• 选通器为绿，将B路输出

首先我们在选通器上做两条路，这两条路相反，不是A亮就是B亮：

然后放置开关，注意必须要放8位开关：

连接即可，注意不要弄错A和B：

相反数

1. 如何获取相反数？我们在“负数”里讲过：“一个二进制数的相反数其实就是它的补码”
2. 如何获取补码？我们在“负数”里讲过：“把一个二进制数的反码+1就是补码”
3. 如何获取反码？我们在“8位非”里讲过：“把一个二进制数的每位都反转就是反码”

因此，我们首先把每一位都反转，获取反码：

• 真 == True == 1 == 绿

也就是说，我们只要使用“高电平”元件，当作1即可。使用8位加法器，将刚才获得的反码，与高电平的1进行相加，即可获得补码，也就是相反数：

题外话

总线

我们将4条蓝线汇集到一条上，这条线叫做“总线”。总线的左侧，我们通过两个8位开关，控制应该让哪个数据保持在总线上。总线的右侧，我们通过两个8位开关，控制数据会进入哪个输出端。

接下来做的都是以前做过的。每个1位输入端控制两个开关，并且一次只能有一个开关开启，因此我们每组里添加一个非门保证始终一开一闭，注意不要连错：

优雅存储

关卡解析

留存数据无疑需要使用延迟线，但是延迟线只能保存一刻数据，所以我们要一直刷新它。我们先构成一个循环，延迟线会一直存储数据，直到它被关闭，如下图：

我们需要一个开关来控制它何时被关闭：

• 新增的线是蓝色的。

当然这个开关现在起不到任何作用，我们需要把延迟线的输出值输入到开关上：

然后我们将待写入的值接入总线：

然后用一个开关来控制：

1位存储器

存储一字节

我们先制作一个可以存储8位数据的存储器。我们只有1位存储器，所以我们需要8个。将8位数据拆成8个1位数据，存储到8个存储器中：

当然，我们还需要制作输出端，将存储的8个1位数据再转化为1个8位数据：

1. 输入0亮：读取并输出
2. 输入1亮：写入到存储器
3. 输入0亮：启用输入端

我们先制作第二个。只要将输入1连接到每个1位存储器即可：

此时，将输入0连接至输出端下方即可完成一和三：

8位存储器

1位解码器

本关的电路搭建特别简单，不需要过多解释，直接看图即可：

1位解码器

本元件就相当于上面的电路，可以在两路输出中选择一路。

3位解码器

我们先制作第一套，此电路可以确定是不是三个红，如果是就输出到输出1：

然后制作第二套，因为真值表的第一行是绿色，所以我们不用放置非门：

然后再制作第三套，第二路是绿，因此第二路不需要非门：

像这样将所有电路全做出来，一共8套电路：

然后我们将8个电路结合起来，注意不要连错孔：

宽带

这里提供一下另一种解法：

• 点击元件后按空格可以旋转。

3位解码器

逻辑引擎

前言

编码、解码

关卡解析

• 请一定要明白我们每步为什么要这样做，这关结束时的电路极其复杂，如果你不明白原理很有可能抄都抄不出来。

我们先将指令输入端进行解码，用到我们上一关制作的3位解码器：

我们使用8位或元件直接处理两个数据，然后将处理结果加上8位开关，与解码器输出的OR指令路连接：

现在来制作第二条指令，即按位与非，和我们之前制作的按位或和按位非的电路相似，只是把逻辑门换成了与非门，我们用1举例：

后面的也这样搭建，然后在结果路放置8位开关，让指令NAND路控制开关，将结果输出到总线：

• 注意本关空间有限，最好不要做的太乱，我们还需要制作2条指令。

然后制作按位或非，我们已经有按位或和按位非，把它们组合就行：

然后在结果路加开关，让NOR指令路控制，接入总线，适当调整位置节省空间：

现在我们再制作按位与的电路即可：

也是同样，加开关，让指令AND控制，接入总线：

• 长得好像一个蓝头发的人头......
• 注意：本关电路不要删除之类的，我们之后的“算术引擎”还会用到！

函数

• 本关创建的电路有点像是汇编里的函数概念，0、1、2、3分别是函数，而两个输入端就是参数。了解一下即可，后面会用到。

1. def OR(x,y):                 #定义OR函数
2. return(按位或操作(x,y))
3. def NAND(x,y):               #定义NAND函数
4. return(按位与非操作(x,y))
5. def NOR(x,y):                #定义NOR函数
6. return(按位或非操作(x,y))
7. def AND(x,y):                #定义AND函数
8. return(按位与操作(x,y))
9. print(OR(183,180))           #调用OR函数

8位与、8位非、8位或非

我们获得了这关里制作的3个按位操作元件：

小盒子

关卡解析

还记得我们在前讲的“宽带”吗？首先我们先将地址数据使用解码器导出成4条线路：

我们知道，用A、B、0、1可以组成4个地址，分别的 (A,0), (A,1), (B,0), (B,1)，我们将这4个地址用与门判断出来：

我们在输入端设置4个8位寄存器，输出结果直接接入总线，然后输出到输出端：

接下来我们只需要做到“控制”即可。需要8个与门，空间有点小，你看怎么能摆下：

左边4个与门用于判断是否读取，我们先接入数据：

然后我们把输入1接进去，就相当于“如果收到读取的信号，就让信息通过”：

右边四个与门也类似，用于判断是否写入。先接入数据（我用的是深蓝色的线）：

将输入2接入到四个与门，就相当于“如果接收到要写入的信号，就让数据通过”：

最后我们再来一条线（白线），将读取信号输入端和输出端开关连接。注意你很有可能没办法连接这条线，因为空间被填满了，你需要让其他东西“让开”。在移动其他元件时一定要将它的输入输出一起移动，不要导致断开和短路，如果出问题了可以按Ctrl+Z撤销操作。最后做出来是这样：

256字节随机存储器

计数器

关卡解析

首先我们制作一个这样的结构：

现在我们来做数据覆盖。我们只需要用到一个选通器，选择让哪个数据覆盖到寄存器即可。注意不要弄错选通器的输入端口：

8位计数器

我们获得了8位计数器元件，其实就是我们本关制作的电路。它会每秒+1，直到有新的数据覆盖。

《图灵完备 Turing Complete》游戏攻略保姆级详解

以下三章为《图灵完备 Turing Complete》游戏手把手教程（教程原创为知乎：淘气喵w，特此说明）
第一章：基础逻辑电路
第二章：算术运算和存储器
第三章：处理器架构